strahlensatz.com

Der Strahlensatz

Der Strahlensatz untergliedert sich in der Regel in den ersten, zweiten und dritten Strahlensatz. Zusammen mit dem Vierstreckensatz gehört er zu den bedeutendsten Aussagen der elementaren Geometrie.
Grundsätzlich wird in jeder Variante das Streckenverhältnis untersucht. Daraus ergibt sich die Möglichkeit bei den meisten geometrischen Frage- und Problemstellungen Streckenlängen zu berechnen.

Im Falle der synthetischen Geometrie finden die ersten zwei Strahlensätze Anwendung. Jedoch werden sie mit Einschränkungen auf eine affine Translationsebenen vereinfacht. Bei der Berechnung durch den dritten Strahlensatz, in der synthetischen Geometrie als Dreistrahlensatz bezeichnet, wird im Allgemeinen nur die pappussche Ebene betrachtet.
Der Begriff Strahlensatz leitet sich aus der Tatsache ab, dass in der Regel nur Spezialfälle betrachtet werden. So werden beispielsweise zwei Parallelen untersucht, die auf identischer Seite eines Scheitels liegen. Man spricht in diesem Fall von einer so genannten “V-Figur”. Man formuliert in diesem Fall keine zwei Geraden, die sich in einem Scheitel schneiden, sondern nur zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung.

Grundsätze beim Formulieren der Strahlensätze

Werden zwei Geraden, die durch einen Scheitelpunkt gehen, von zwei Parallelen geschnitten, dann wird Folgendes vorausgesetzt:

1. Je zwei Abschnitte verhalten sich auf der einen Geraden im Verhältnis so zueinander, wie die entsprechenden Abschnitte auf der zweiten Geraden. Daraus ergibt sich folgende Überlegung: ZA:ZA’=ZB:ZB’ oder ZA:AA’=ZB:BB’

2. Die Abschnitte der Parallelen verhalten sich entsprechend wie die vom Scheitel gemessene Strecken auf den Geraden (siehe Beispiel 1.)

3. Je zwei Abschnitte stehen auf den entsprechenden Parallelen in gleichem Verhältnis zueinander. Diese Art vom Strahlensatz setzt im Vergleich zu den ersten zwei Varianten minimal drei Geraden voraus.

Umkehrung des Strahlensatzes

Man sagt, Thales von Milet habe den Strahlensatz zur Berechnung der Kanten einer Pyramide genutzt.

Man sagt, Thales von Milet habe den Strahlensatz zur Berechnung der Höhe einer Pyramide genutzt.

Bei der Umkehrung des Strahlensatzes muss die erste Eigenschaft (1.) erfüllt sein. In diesem Fall kann auf parallele Geraden geschlossen werden. Ist jedoch die zweite Eigenschaft erfüllt (2.), schließt sich die Parallelität der Geraden faktisch aus.
Ein Beispiel zur Anwendung des Strahlensatzes geht den griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (ca. 624 v. Chr. – ca. 547 v. Chr.) zurückgehen. Mit Hilfe eines Stabes habe dieser durch die Messung der Schattenlänge die Höhe Cheopspyramide berechnet. Daher wird der Strahlensatz auch als Satz des Thales bezeichnet.

Weitere geometrische Konzepte

Strahlensätze stehen engem im Zusammenhang mit der Definition von der geometrischen Ähnlichkeit, auch als Kongruenz gezeichnet. Die Ähnlichkeitssätze werden in vier Varianten gegliedert und lauten wie folgend: Sind zwei Dreiecke zueinander ähnlich, dann müssen sie in mindestens zwei Winkeln übereinstimmen. Somit ergibt sich auch die Übereinstimmung im dritten Winkel(W:W-Satz).
Zwei Dreiecke weisen dann zu einander Ähnlichkeit auf, wenn in sämtlichen Verhältnissen die entsprechenden Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)
Beide Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in dem einen Winkel und einem Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)
Sind beide Dreiecke zueinander ähnlich, dann muss das bestehende Verhältnis von zwei Seiten im entsprechenden Gegenwinkel der dominanteren Seite übereinstimmen. (S:s:W-Satz)

Ein zusätzliches Konzept im Zusammenhang mit dem Strahlensatz ist die zentrische Streckung. Darunter versteht man in der Geometrie die Abbildung, welche alle Strecken im bestimmten, vorgegebenen Verhältnis vergrößern oder verkleinern. Die Bildstrecken sind zu den Ausgangsstrecken parallel. Die Berechnung von Vektoren beruht übrigens auch auf den Ähnlichkeitsgesetzen und dem Satz des Thales.