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Die Vektorrechnung

Die Vektorrechnung ist ein echtes, sehr anschaulisches und praktisches Highlight in der Mathematik, besonders deshalb, weil sie so einen sehr engen Bezug zur Physik hat.

Ein Vektor ist ein Pfeil in einem dreidimensionalen Raum.

Ein Vektor ist ein Pfeil in einem dreidimensionalen Raum.

Vektoren sind Pfeile. Und auch die Pfeile der Vektorrechnung haben eine Orientierung im Raum, eine Richtung und eine Länge. Wegen dieser drei Eigenschaften kann man viele physikalische Größen durch Vektoren repräsentieren. Ein Beispiel dafür ist die Kraft. Mit Kraft kann man in eine bestimmte Richtung ziehen, und die Stärke der Kraft kann durch die Länge des Pfeiles quantifiziert werden. Ähnliches gilt auch für die Geschwindigkeit oder Beschleunigung, oder auch für den Impuls und Drehimpuls. Die Masse oder die Energie oder die Temperatur sind keine Vektoren, sondern so genannte Skalare, denn sie haben im Raum keine Orientierung und keine Richtung, aber sie haben einen Wert, man kann ihnen lediglich einen Zahlenwert, ein Skalar zuordnen.

Entsprechend der drei Eigenschaften besteht ein (räumlicher) Vektor im dreidimensionalen Raum (3D) auch aus drei Werten bzw. einem Zahlentripel. Wir werden später noch sehen, dass man in der Vektorrechnung auch mit 2D-Vektoren in der Ebene oder sogar ganz verallgemeinert mit n-dimensionalen Vektoren in einem beliebig dimensionierten (Vektor)Raum rechnen kann. Wegen der guten Anschaulichkeit und der häufigen Anwendung ist dieser Text aber erst einmal auf den (normalen) 3D-Fall fokussiert.

Um den Umfang der Ausführungen über Vektorrechnung zu begrenzen, werden wir uns beim zu Grunde gelegten Koordinatensystem auch auf das kartesische System begrenzen, wenngleich, alles, was hier gesagt wird, auch so in sphärischen (Kugel)Koordinaten oder in Zylinderkoordinaten Geltung hat. Die Darstellung eines 3D-Vektors in kartesischen Koordinaten sieht also so aus:

a = (x1, y1, z1)

Die hier fett gedruckten Vektoren werden normalerweise mit einem kleinen Pfeil über den Buchstaben dargestellt. Die drei Komponenten x1, y1 und z1 auf den orthogonalen (zueinander senkrechten) X, Y und Z-Achsen zeigen eindeutig an, wie der Vektor mit seiner Spitze im Raum steht, ausgehend vom Koordinaten-Ursprung (Nullpunkt aller Achsen). Eine Parallelverschiebung dieses Vektors im Raum, sodass sein Anfangspunkt nun an einem anderen beliebigen Punkt im Raum ist, ändert gar nichts an diesem Vektor und seinen Koordinaten. Vektoren können (komponentenweise) addiert oder subtrahiert werden:

b = (x2, y2, z2)

ab = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)

Veranschaulichung:
Man stelle sich zwei unterschiedliche Kräfte vor, die einen Ball in ganz unterschiedliche Richtungen ziehen. Der Ball wird schlussendlich in jene Richtung beschleunigt, die der Summe beider Kräfte (im Raum) entspricht.

Bei der Vektormultiplikation sind zwei Arten zu unterscheiden: das Skalarprodukt und das Vektor- bzw. Kreuzprodukt. Wie die Namen schon verraten, kommt bei Ersterem eine Zahl, ein Wert, also ein Skalar heraus, und im zweiten Fall wieder ein Vektor.

Skalarprodukt:

a . b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
Gleichermaßen gilt hier auch, wenn alpha jener Winkel ist, den beide Vektoren zwischen sich einschließen:
a . b = |a|.|b|.cos(alpha)
Dies bedeutet anschaulich die Projektion des einen Vektors auf die Linie des anderen. Bei senkrechten Vektoren wird die Projektion zum Punkt der Länge null. Da bei Projektionen immer rechtwinklige Dreiecke eine Rolle spielen, sei auch erinnert an den Satz des Thales, der bereits um 650 v.Chr. verstanden hat, dass jeder Punkt auf einem Halbkreis mit dem dazu gehörigen Halbmesser immer ein rechtwinkliges Dreieck bildet bzw. bilden muss.

Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt:

a x b = (y1.z2-z1.y2, z1.x2-x1.z2, x1.y2-y1.x2)

Der sich dabei ergebende Vektor steht senkrecht auf der Fläche, die a und b miteinander bilden und wird daher auch als Flächenvektor bezeichnet. Seine Länge entspricht dem Maß dieser Fläche. Mit anderen Worten:
Die beiden Vektoren spannen in ihrer gemeinsamen Fläche ein Parallelogramm auf, dessen Flächeninhalt um so kleiner wird, je kleiner der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Sind die Vektoren parallel, ist der Winkel und auch die Fläche gleich null. Sind die Vektoren orthogonal, ist die Fläche ein Rechteck und maximal. Das macht auch plausibel, dass hier der Sinuswert des eingeschlossenen Winkels alpha maßgebend ist. Für den Betrag (Länge) des Flächenvektors F gilt:

|F| = |a x b| = |a|.|b|.sin(alpha)

In der ebenen Geometrie (2D-Fall) lassen sich viele trigonometrische Beziehungen durch die Schreibweise der Vektorrechnung stark vereinfachen. Dies gilt auch für den Strahlensatz, der zu einem Vergleich von Skarlarprodukten noch weiter vereinfacht werden kann. Eine Erweiterung des Strahlensatzes ist die so genannteZentrische Streckung“, bei der alle Eckpunkte einer Figur beliebig weit entlang von Ortsvektoren (Vektoren durch den Ursprung/Zentrum) geführt werden und so beliebige Vergrößerungen oder Verkleinerungen der Figur (alle Strecken) erzeugt werden können.

Die Gesetze und Regeln der Vektorrechnung lassen sich aber vom 2D- und 3D-Fall auf beliebig-dimensionale Räume (n-dimensional) erweitern, was sich natürlich niemand mehr anschaulich vorstellen kann; es geht dabei vielmehr um mathematischen Formalismus. Damit eröffnet dann auch die Vektorrechnung ganz neue Vektorräume, die durch so genannte verallgemeinerte Koordinaten aufgespannt werden. Dann stehen anstelle der kartesischen Koordinaten X, Y und Z beispielsweise verschiedene physikalische Größen wie Kraft, Energie, Impuls, Temperatur, Druck, Stromstärke, magnetische Flussdichte usw.. Für die Punkte/Zustände in einem solchen System gelten die gleichen (bequemen) Verknüpfungsregeln wie in der Vektorrechnung.